図形問題で手が止まったら、まず問題文にある長さ・角度・平行などの条件を図に書き込み、求めたい辺や角に印を付けましょう。「何が分かっているか」と「何を求めるか」を整理することが、解き方を考える出発点になります。
トラスティスクールでは、すぐに解き方を教える前に、「条件は全部図に書き込めた？」「最後にどこを求めたいんだっけ？」と問いかけます。補助線についても、線の位置だけを覚えるのではなく、何の性質を使うために引くのかを本人が考えられるように進めています。
図形問題になると、何から始めればよいか分からない方へ
トラスティスクールへ、数学の学習についてご相談ください。無料体験授業では、お子さまに合った授業かどうかを確かめていただけます。
この記事では、中学生と保護者の方に向けて、図形問題の条件整理、補助線の考え方、証明と解き直しの進め方を紹介します。扱う性質や定理は、学校で習った範囲に合わせて確認してください。
図形が解けないときは、止まっている場所を分ける
同じ「図形が苦手」でも、必要な練習は人によって違います。直近のテストやワークを開き、どこで手が止まったかを振り返ってみてください。
- 問題文の条件を図に移せていない
- どの辺や角を求めるのか、途中で分からなくなる
- 合同・相似などで、どの図形を比べるか決められない
- 性質や定理は覚えているが、使える条件を判断できない
- 補助線を引く目的が分からない
- 方針は立つが、計算で間違える
- 証明で、理由をどの順番で書けばよいか分からない
一つに決めつける必要はありません。例えば、相似に気付いていても、対応する辺を取り違えて計算が合わないことがあります。
問題数を増やす前に、「どこまでは自分でできたか」を確認すると、復習する内容を選びやすくなります。
最初に行うのは、条件の書き込みとゴールの確認
問題文で与えられた条件を図に移す
長さや角度の数値だけでなく、次のような条件も図に書き込みます。
- 等しい辺や角
- 平行・垂直
- 中点
- 角の二等分線
- 円の中心や接点
一度にすべて覚えようとせず、問題文を一文ずつ読み、対応する場所へ書き込んでいきましょう。
図が小さくて情報が重なる場合は、大きく描き直す方法もあります。その際は、点の名前や位置関係を元の図と照らし合わせてください。
見た目だけで条件を増やさない
図で同じ長さに見えても、条件や根拠がなければ、等しいとは判断できません。直角や平行についても同じです。
「問題文で与えられたこと」と「性質を使って導いたこと」を区別して書き込みましょう。色や記号を分ける場合は、自分で見返して区別できる簡単なルールにします。
また、証明する結論を、最初から分かっている条件として使わないように注意してください。
求めたい辺や角に印を付ける
条件を書いたら、「最終的に何を求める問題か」を確認します。求めたい辺や角に印を付け、証明問題なら結論を短く書き出しましょう。
途中で別の角度や長さを求めたときも、元のゴールに戻って確認します。途中で求めたものを、そのまま答えにしていないかを防ぐためです。
トラスティスクールの補助線指導｜使いたい性質から考える
補助線が思いつかないとき、トラスティスクールでは、まず「どんな図形があれば解けそう？」と問いかけます。
例えば、直角三角形ができれば使える性質はないか、相似な三角形を見つけられないか、と考えます。線を引くこと自体を目的にせず、使いたい性質と結び付けるためです。
「あと何があれば使えるか」を考える
定理を思い出せたら、使うための条件がそろっているかを確認します。
例えば、三角形の二辺の中点が分かっている場合は、「中点連結定理を使うなら、どの２点を結べばよい？」と考えられます。
相似を使いたい場合は、どの三角形を比べるのか、その三角形についてどの相似条件を確かめられそうかを整理します。
定理の名前を知っているだけでは、使えるかどうかは決まりません。図の条件と照らし合わせることが必要です。
ヒントを受けたら、線を引く理由まで確認する
考えが進まない場合は、図の条件に応じて具体的なヒントを出します。
- 円の接線と接点があるなら、中心と接点を結ぶことを考える
- 等しい角や相似な三角形を作りたいなら、平行線を引くことを考える
- 複雑な図なら、着目する三角形だけを取り出して描く
例えば、円の中心と接点を結んだ半径は、その接点を通る接線と垂直になります。ただし、円の問題ならいつでも同じ線を引けば解ける、という意味ではありません。
ヒントを受けた後は、「その線を引いたことで何が分かったか」まで言葉にしましょう。次の問題でも使える手がかりになります。
指導方針の提供：トラスティスクール塾長
合同・相似で迷ったら、比べる図形を取り出す
図の中に三角形がいくつも重なっていると、対応する辺や角を取り違えることがあります。比べたい三角形を別々に描き、点の名前と分かっている条件を書き込んでみてください。
確認したいのは、次の３点です。
- どの三角形と、どの三角形を比べているか
- どの頂点・辺・角が対応するか
- 合同条件や相似条件を満たす根拠があるか
向きが違う三角形でも、図の左右や上下ではなく、対応関係を見て考えます。
相似を使って長さを求めるときも、比の式を立てる前に、対応する辺を確認しましょう。相似だと分かっていても、辺の対応が違えば正しい式にはなりません。
証明は「分かったこと」と「その理由」を組にする
証明で止まるときは、最初に仮定と結論を分けます。
- 仮定： 問題文で与えられている条件
- 結論： これから示すこと
その間をつなぐように、「何が分かるか」「なぜそう言えるか」を一段階ずつ整理します。
等しい角を使うなら、仮定なのか、共通の角なのか、平行線による錯角なのかを区別してください。「図を見ると同じだから」では、証明の根拠になりません。
解答を書き写す場合も、理由を確認する
書き方を知るために解答を写すことはありますが、文章を覚えるだけで終わらせないようにします。
各行について、「この条件はどこから分かったか」「この定理を使える条件はそろっているか」を確かめましょう。
その後、解説を閉じて、自分で理由をつなげて書けるか試します。別の問題でも、図の条件に合う根拠を選べるかを確認してください。
解き直しは、先生に説明してからヒントなしで試す
トラスティスクールでは、生徒の「分かりました」という言葉や、解説を聞いてうなずく様子だけで理解を判断しません。
「どうやって解いたか、先生に最初から説明してみて」と伝え、解き方の流れを本人の言葉で説明してもらいます。
確認するのは、例えば次のような点です。
- 最初に、どの条件に注目したか
- なぜその補助線を引いたか
- どの性質を、どの条件を根拠に使ったか
- どうしてその式や結論につながるか
説明の途中で止まった箇所があれば、そこを一緒に確認します。
書き込みのない図から、自力で解き直す
説明できたら、解説やヒントの書き込みがない状態から解き直します。問題文で与えられた条件を自分で整理し、方針を立てて、最後まで解けるかを確かめます。
ヒントなしで解き切れたことは、その時点の理解を確認する材料になります。ただし、直後は手順を覚えている場合もあります。定着については、日を空けた解き直しや類題でも確認していきます。
指導方針の提供：トラスティスクール塾長
解き直しノートに残すこと｜説明用の架空例
以下は記録の書き方を示す架空例です。実在の生徒の答案や当塾の指導実績ではありません。
- 問題： ワークの相似を使う問題
- 止まった場所： どの三角形を比べればよいか決められなかった
- 見落としていた条件： 平行な直線があること
- 解説で確認したこと： 平行線による等しい角と、図の中の共通の角に注目していた
- 次に確かめること： 比べる三角形を取り出し、どの相似条件を満たすか説明する
- 先生に聞きたいこと： 自分が最初に選んだ三角形では、なぜ条件がそろわなかったのか
ノートをきれいにまとめることより、次に自分で考えるための手がかりが残っていることが大切です。長く書く必要はありません。
計算で間違えた場合は、途中式を残して、最初にずれた箇所を確認しましょう。そこを直した後は最後まで解き直し、ほかにも誤りがないか確かめます。
保護者は、家庭で解き方を教えなくてもよい
図形問題を家庭で説明しようとして、親子で言い合いになってしまう場合は、解き方の確認を先生に任せることも選択肢です。毎日の答案点検や、家庭での解説を必須にする必要はありません。
トラスティスクールでは、宿題の確認や学習の進め方を本人と相談し、できるようになったことを保護者の方へお伝えします。
ご家庭では、食事や休息、予定の調整など、落ち着いて学習できる環境を支えていただくことをお願いしています。本人が希望する無理のない手助けまで、やめる必要はありません。
気になる点は塾へ共有してください。本人が直接質問できるなら、保護者の方が毎回仲介する必要もありません。
よくある質問
図形問題は、センスがないと解けませんか？
図形問題には、条件を書き込む、対応する辺や角を確認する、定理を使える条件を確かめるなど、手順として練習できる部分があります。
すぐに補助線が思い付かなくても、それだけで向いていないと判断する必要はありません。どの作業で止まっているかを確かめ、必要な練習を選びましょう。
補助線の引き方は、全部覚えるべきですか？
線の位置だけを暗記するより、「何を分かるようにするために引いたか」をセットで確認してください。
接線と半径の関係を使いたい、等しい角を作りたいなど、目的が分かると、似た条件の問題で考える手がかりになります。ただし、同じように見える図でも条件が違う場合があるため、その都度確認が必要です。
解説を読めば分かるのに、自分では解けません。
まず解説を閉じ、条件の書き込みから自分で進めてみてください。途中で止まったら、そこが確認したい箇所です。
「どの三角形を比べるか決められない」「補助線の理由が分からない」など、止まった場面を先生に伝えましょう。何も思い付かない場合も、無理に説明を作らず、問題と途中の図を見せて構いません。
図は正確に描いた方がよいですか？
考えるための図では、長さや角度を見た目だけで判断せず、点の位置関係と条件が分かるように描くことが大切です。
一方、作図問題では、指定された道具や作図の条件に従う必要があります。考えを整理するための描き直しと、答案として求められる作図を区別してください。
まずは、解けなかった一問の条件を書き込む
図形が苦手なときは、すぐに問題数を増やすより、一問の中で止まった場所を確かめましょう。
問題文の条件を図に移し、求めたいものを確認する。次に、使えそうな性質と、そのために必要な条件を考える。補助線を引いたら、何が分かるようになったかを説明する。この流れを、一つずつ練習していきます。
解き直しでは、答えが合うことに加えて、根拠を説明できるかも確かめてください。分からない箇所を残して先生に相談することも、次の学習につながる一歩です。
幕張本郷で、数学・図形の学習をご相談したい方へ
「問題文を読んでも何から始めればよいか分からない」「補助線や証明になると止まってしまう」。そんなときは、トラスティスクールへご相談ください。
途中まで書いた図や答案、普段使う問題集があると、どこで困っているかを伝えやすくなります。無料体験授業では、授業の分かりやすさや教室の雰囲気を確かめていただけます。
相談だけでも歓迎です。入塾は、ご納得いただいてからお決めください。
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