高校数学の確率で答えが合わないときは？重複して数えていないか確かめる4つの方法

高校数学の確率で答えが合わないとき、原因の多くは「同じ場合を2回数えている」か「全体と一部で数え方がそろっていない」ことです。計算力よりも先に、①区別するかどうかを決める、②分母と分子の数え方をそろえる、③「または」の重なりを引く、④小さい数で書き出して検算する、の4点を確認すると、間違いの場所を自分で見つけやすくなります。この記事では、それぞれの確かめ方を例題つきで紹介します。

※この記事の例題と数値は、説明用に作った架空の例です。

確率で「重複」が起きやすい理由

確率は「起こりうる場合の数」に対する「求める場合の数」の割合です。このとき前提になるのが、数えた一つひとつの場合が同じ程度に起こりやすい(同様に確からしい)ことです。教科書では最初に習いますが、問題を解くうちに意識から抜けやすく、次のようなつまずきにつながります。

• 見た目が同じものを1つにまとめてしまい、起こりやすさの違う場合を同じ1通りとして数える
• 分母は組合せ(順番なし)、分子は順列(順番あり)のように、数え方が混ざる
• 「AまたはB」で、AとBの両方に当てはまる場合を2回足してしまう

どれも式の形は正しそうに見えるため、答えを見てもどこが違うのか分かりにくいのが特徴です。

確認1:区別するかどうかを最初に決める

例題:大小2個のサイコロを投げて、目の和が7になる確率を求める。

よくある誤りは、目の組を{1,6}{2,5}{3,4}の3通りとし、全体も組で数えて21通りとする方法です。これだと3/21=1/7になります。しかし{1,6}は「大が1・小が6」と「大が6・小が1」の2通りの出方があり、{3,3}のようなぞろ目は1通りしかありません。組で数えると、起こりやすさの違うものを同じ1通りとして扱ってしまいます。

サイコロは見た目が同じでも、2個を区別して(大・小、1個目・2個目)数えます。全体は6×6=36通り、和が7になるのは(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)の6通りで、確率は6/36=1/6です。

確かめ方:「同じ色の玉」「同じサイコロ」が出てきたら、いったん番号を付けて区別できるものとして考える。これが基本の考え方です。

確認2:分母と分子の数え方をそろえる

例題:赤玉3個、白玉2個が入った袋から同時に2個取り出すとき、赤と白が1個ずつになる確率を求める。

全体を組合せで数えると、5個から2個を選ぶので10通りです。分子を「赤を選んでから白を選ぶ」「白を選んでから赤を選ぶ」と順番つきで考えて3×2×2=12通りとすると、確率は12/10となり1を超えてしまいます。

同時に取り出す問題では順番を考えないので、分子も組合せで数えます。赤3個から1個、白2個から1個を選んで3×2=6通り、確率は6/10=3/5です。順番を考えて解く場合は、全体も5×4=20通り、分子も12通りとして12/20=3/5となり、同じ答えになります。

確かめ方:式を書く前に、ノートの余白に「順番:あり/なし」とメモし、分母と分子の両方に同じルールを使ったかを見直します。

確認3:「または」は重なりを引く

例題:1から100までの整数から1つ選ぶとき、2の倍数または3の倍数である確率を求める。

2の倍数は50個、3の倍数は33個ですが、6の倍数(16個)は両方に含まれています。そのまま足すと16個を2回数えるので、50+33−16=67個、確率は67/100です。

「少なくとも1回」の問題でも同じ重複が起こります。たとえば硬貨を3回投げて少なくとも1回表が出る確率を、「1回目が表の場合4通り+2回目が表の場合4通り+3回目が表の場合4通り=12通り」と数えると、全体の8通りを超えます。表が2回以上出る場合を重ねて数えているためです。この場合は、全部裏になる1通りを全体から除く余事象の考え方で、1−1/8=7/8と求めると重複が起きません。

確かめ方:「または」「少なくとも」という言葉を見たら、重なる部分がないかをベン図で描くか、余事象で解けないかを考えます。

確認4:小さい数で書き出して検算する

公式で出した答えに自信が持てないときは、条件を小さくして全部書き出すのが有効です。たとえば「4人から2人を選ぶ」問題で迷ったら、A・B・C・Dと名前を付けて、AB、AC、AD、BC、BD、CDの6通りを実際に書き出し、組合せの式の結果と一致するかを確かめます。樹形図や表を使えば、同じ場合が2回出ていないかも目で確認できます。

答えを出した後のチェックリスト

• 確率が0以上1以下になっているか
• 分母と分子で「順番あり/なし」「区別する/しない」がそろっているか
• 「または」で重なりを引いたか
• 余事象で解き直して、同じ答えになるか
• 小さい場合で書き出した結果と式が一致するか

家庭でできる復習の進め方

確率の復習では、解き直す問題数を増やすより、間違えた問題の原因を言葉にすることが大切です。間違えた問題の横に「区別していなかった」「分母と分子の数え方が違った」「重なりを引き忘れた」のように一言書いておくと、自分が引っかかりやすいパターンが見えてきます。

保護者の方が声をかける場合は、答えが合っているかどうかよりも、「どうやって数えたの?」と数え方を説明してもらうのがおすすめです。説明しようとすると、本人が途中で重複に気づくことがあります。

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