中3数学の相似で対応する辺を取り違えるときは？図の取り出し方と印の付け方

相似の比が合わないときは、計算をやり直す前に、2つの三角形を別々に取り出し、向きをそろえて描き直すことから始めてみてください。重なった図のまま辺を拾おうとすると、対応していない辺どうしを比べてしまうことがあります。

中3の相似では、「相似であることは示せたのに、比を立てると答えが合わない」という形で止まることがあります。この場合、見直す場所は計算の速さではなく、どの頂点とどの頂点が対応しているかを図から読み取る段階にあることが少なくありません。ここでは、ノートに何を描き、何に印を付け、どこを先生に質問すればよいかを順番に整理します。

まず「どこで間違えたか」を分けて確認する

同じ「相似の問題が合わない」でも、見直す場所は違います。返ってきた答案や解き直しノートを見ながら、次のどれに近いかを確かめてください。

• 相似であることの根拠（どの角が等しいかなど）が書けていない
• 相似は示せたが、頂点の対応の順番があいまいなまま比を立てた
• 対応は合っていたが、比の式を変形する途中で間違えた
• 図が重なっていて、どの辺が問われている辺なのか見失った

比の立て方で止まっているのか、式の変形で止まっているのかが分かれば、次に取り組む練習が変わります。上の2つに当てはまる場合は、この記事で扱う図の描き方を試す場面です。なお、分類はあくまで次に調べる仮説です。実際には対応の読み取りと計算の両方に原因があることもあるので、解き直しのときに両方を確かめてください。

対応を取り違えないための図の描き方・4つの手順

1．相似な2つの三角形を、別々に描き写す

相似の問題では、2つの三角形が重なっていたり、一方が他方の中に入っていたりすることがあります。その状態のまま辺を拾うと、共有している辺や、見た目が近い辺につられやすくなります。

そこで、もとの図の横に、2つの三角形を離して描き写します。正確な長さでなくてかまいません。大きさの関係が分かる程度のラフな図で十分です。「元の図」「取り出した図1」「取り出した図2」の3つが並ぶ形にします。

2．同じ向き・同じ並びにそろえる

取り出した2つの三角形は、回転や裏返しをそろえて描きます。「等しい角を左下に置く」「対応させたい辺を下にする」のように、自分の中で置き方のルールを決めておくと、毎回同じ手順で確認できます。

向きがそろっていれば、左下の頂点どうし、上の頂点どうしが対応している、と目で追えます。ここを省くと、見た目の長さだけで「長い辺と長い辺」を対応させたつもりになり、根拠のない対応になってしまうことがあります。

3．等しい角に同じ印を付ける

相似の根拠になっている角に印を付けます。片方の三角形の角に二重丸、対応する角にも二重丸、別の等しい角には×印、というように、同じ印が付いた角が対応する角だと一目で分かるようにします。

辺ではなく角から印を付けるのがポイントです。対応する辺は、どの頂点とどの頂点を結んだ辺かで決まるため、頂点（角）の対応が決まれば辺の対応もそれに従って決まります。

4．頂点の名前を対応順に書き出す

最後に、三角形の名前を対応する順番で書きます。相似を記号で表すときは、対応する頂点が同じ順に並ぶように書くのが約束です。この並びを書いてから、対応する辺を上下2行に並べてメモすると、比の式を立てるときに迷いにくくなります。

慣れるまでは、ノートの余白に「対応する頂点」「対応する辺」を2行で書き並べる習慣をつけておくと、見直しのときにも確認しやすくなります。

ノートに残すと見直しやすい4点

解き直しのときは、答えだけでなく判断した過程を残しておくと、自分でも先生にも確認しやすくなります。次の4つを残しておきましょう。

• 取り出して向きをそろえた2つの三角形の図
• 等しい角に付けた印と、その根拠（平行線によって等しくなる角、共通の角など、問題文や図から言えること）
• 対応する頂点の並び
• 対応する辺を2行に並べたメモ

間違えた問題では、どこまでは合っていて、どこから対応がずれたのかに線を引いておきます。「図を取り出すところまではできたが、向きをそろえずに辺を拾った」と分かれば、重点的に練習する場所を絞れます。ただし、重点的に練習する場所が1か所に絞れても、答案としては最後まで解き直し、出てきた値を確かめるところまで行ってください。

自分で確かめるチェック項目

比の式を立てた直後に、次の項目を確認してみてください。計算を進める前に気づければ、答案を大きく書き直さずに済みます。

• 2つの三角形を別々に描いたか
• 向き（回転・裏返し）をそろえたか
• 等しい角に同じ印を付け、その根拠を言えるか
• 頂点の名前を対応順に並べて書いたか
• 比の式の左右で、同じ三角形の辺どうしを並べていないか
• 求めた長さが、図の見た目と大きく食い違っていないか

最後の項目は、おおまかな確認として使えます。図では明らかに短いはずの辺に大きな値が出たときは、対応か式のどちらかを見直す合図です。ただし、これは検算の代わりにはなりません。最後に式をたどり直して値を確かめましょう。

原因別・次に取り組むこと

• 相似の根拠が書けない…相似条件を教科書で確認し、問題の図のどこにその条件が現れているかを、言葉で説明する練習をします。
• 根拠は言えるが対応が崩れる…上の手順のうち、2（向きをそろえる）と4（対応順に書く）を、答えを出さずに図だけ描く練習として繰り返します。
• 対応は合うが式で間違える…比の式を変形する計算の練習に戻ります。図ではなく計算の手順を見直す場面です。
• 解説を読めば分かるが自力だと止まる…解説を閉じて、同じ問題を何も見ずに最初から書けるか試します。解説を読んで初めて知った内容が含まれていることもあるので、何を新しく知ったのかもノートに残しておきましょう。

図形の条件整理や補助線の引き方を含めて進め方を相談したい場合は、トラスティスクールの授業内容もご確認ください。

よくある質問

Q1．図を描き直す時間がもったいない気がします

慣れるまでは時間がかかりますが、取り出す図はラフな三角形で十分です。対応を取り違えたまま最後まで計算して書き直すより、結果として短く済む場合もあります。時間が気になるときは、まず家庭での解き直しのときだけ描き、手順が身についてから省けるかを判断するとよいでしょう。

Q2．相似だと気づくこと自体が難しいです

まずは、図の中で共通している角や、平行線によって等しくなる角を探す練習から始めます。問題文に「平行」と書かれていたら図に平行の印を入れる、共通の角には先に印を付けるというように、読んだ条件をその場で図に写す習慣をつけると、根拠を探す手がかりになります。

Q3．保護者はどう関わればよいですか

答え合わせを家庭で毎回行う必要はありません。本人が望むようであれば、「この2つの三角形はどこが対応しているの？」と説明してもらう程度の関わりで、理解の状態が見えやすくなります。説明に詰まった箇所は、本人が先生に質問する材料になります。

理解できたかを確かめる方法

同じ問題をもう一度解けたからといって、対応の読み取りが身についたと断定はできません。次の3つで確かめてみてください。

• 数値や図の向きが違う類題でも、同じ手順で三角形を取り出せるか
• 日を空けて、解説を見ずに最初から書けるか
• 「なぜこの辺とこの辺が対応するのか」を自分の言葉で説明できるか

説明できない箇所が残っていれば、それが次に質問する内容です。言葉にできるところまで戻って確認していきましょう。